Singapore Math Heuristic

การเรียนคณิตศาสตร์ในตอนนี้ได้เปลี่ยนไปมาก ซึ่งเมื่อก่อนนี้การเรียนเลขใช้เวลาไปกับการจดจำวิธีการหรือสูตรลัดต่างๆ แต่ปัจจุบันนักเรียนต่างได้รับการคาดหวังมากว่ากว่าเดิม การเข้าใจและหาคำตอบได้จากพื้นฐานคำนวนทั่วไปเท่านั้นยังไม่พอ เด็กยังต้องมีทักษะที่ดี ทั้งด้านกระบวนการคิดและการแก้ปัญหา เพื่อนำมาแก้โจทย์ปัญหาที่มีความซับซ้อนในระดับสูงได้

What-is-The-Problem-Solving-Process.jpeg

สิ่งสำคัญอย่างหนึ่งคือ Singapore Math ได้นำทฤษฎีของ Polya's four-step problem-solving มาประยุกต์ใช้กับหลักสูตร กล่าวคือมี 4 ขั้นตอนดังนี้

1. Understand the problem: เข้าใจปัญหา
2. Devise a plan: วางแผนสำหรับการแก้ปัญหา
3. Carry out the plan: ดำเนินการแก้ปัญหาตามแผนที่วางไว้
4. Look back: ตรวจสอบผลที่ได้

ทักษะแก้โจทย์ปัญหาเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการเรียนคณิตศาสตร์ที่ต้องได้รับการฝึกฝนอยู่เสมอ และควรเรียนรู้วิธีการแก้โจทย์ปัญหาที่ต่างกันหลายหลายวิธี เพื่อให้สามารถเลือกใช้วิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมและประสิทธิภาพ ซึ่งในการเรียน Singapore math ได้จัดรายการ Heuristics ไว้ในหลักสูตรการเรียนคณิตศาตร์ระดับชั้นประถมศึกษาและมัธยมศึกษาตอนนี้ไว้ดังนี้

Heuristics for Problem Solving

1. Act it out

2. Draw a diagram/model

3. Look for pattern(s)

4. Make a systematic list

5. Guess and check

6. Restate the problem in another way

7. Solve part of the problem

8. Simplify the problem

9. Work backwards

10. Draw a table

11. Make suppositions

12. Before-After concepts

Heuristic: Act it out

Word Problem (Grade 1):

Alan, Ben and Carol are in the school’s Art Club. Their teacher, Mr Tan, wants two of them to join a contest. How many ways can Mr Tan choose two pupils?

อลัน,เบน และแครอล อยู่ในชมรมศิลปะร่วมกัน คุณแทนซึ่งเป็นครูของเด็กๆ อยากให้เด็กสองคนเข้าร่วมการแสดง

จะมีกี่วิธีที่ครูสามารถเลือกเด็กสองคนได้?

Illustrated Prince

Alan

Boy Face

Ben

Illustrated Princess

Carol

Solution: 
Alan and Ben, Alan and Carol, Ben and Carol.
Mr Tan can choose two pupils in 3 ways.

จากโจทย์สามารถจับคู่ได้ทั้งหมด 3 วิธี คือ อลัน-เบน, อลัน-แครอล และ เบน-แครอล ซึ่งเด็กสามารถตัดรูปออกมาจับคู่หรือลากเส้นจับคู่ได้

Heuristic: Draw diagram / Model

Word Problem (Grade 3):


The smaller of two numbers is 1217. The greater number is 859 more than the smaller number.
(a) What is the greater number?
(b) What is the sum of the numbers?

มีเลขอยู่สองจำนวน เลขที่น้อยกว่าคือ 1217 และเลขที่มากกว่ามีค่ามากว่าจำนวนที่น้อยกว่าอยู่ 859 

(a) เลขที่มีมากกว่าคืออะไร?

(b) ผมรวมของตัวเลขทั้งคู่คือเท่าไหร่?

Bar-Model.png

Solution:
The greater number is 1217 + 859 = 2076.
The sum of the numbers is 2076 + 1217 = 3293.

สามารถเขียนออกมาเป็นบาร์โมเดล (Bar Model) เพื่อเปรียบเทียบตัวเลขทั้งสองจะทำให้เห็นภาพรวม ซึ่งสามารถหาเลขที่มากกว่าโดยเท่ากับ 1217 + 859 = 2076 และผมรวมของตัวเลขที่คู่คือ 2076+1217 = 3293

Heuristic: Look for pattern(s)

Word Problem (Grade 1):

Draw the shape that comes next.

ให้เขียนรูปลำดับถัดไป

Shapes.png

Solution:

Patterns.png
Heuristic: Make a systematic list

Word Problem (Grade 2):

A shop sells apples in bags of 3. It sells lemons in bags of 4. Paul buys some bags of apples and lemons. He buys the same number of each fruit. He buys more than 20 and fewer than 30 pieces of each fruit. How many apples does Paul buy?

ร้านแห่งหนึ่งขายแอปเปิ้ลบรรจุถุงถุงละ 3 ผล และขายมะนาวบรรจุถุงถุงละ 4 ผล  พอลซื้อแอปเปิ้ลและมะนาวที่บรรจุถุงไว้ โดยจำนวนผลแอปเปิ้ลและผลมะนาวเท่ากัน  เขาซื้อผลไม้แต่ละอย่างมากกว่า 20 ผล และน้อยกว่า 30 ผล  จำนวนแอปเปิ้ลที่พอลซื้อคือเท่าไหร่?

Solution:

Systematic-List.png

Paul buys 24 apples.

วิธีหาคำตอบสามารถลิสรายการขึ้นมาเพื่อหาความสัมพันธ์ เนื่องจากแอปเปิ้ลบรรจุถุงละ 3 ผล ทำให้จำนวนผลแอปเปิ้ลที่เป็นไปได้คือ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 ส่วนมะนาวบรรจุถุงละ 4 ผล ให้จำนวนผลมะนาวที่เป็นไปได้คือ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 จำนวนผลแอปเปิ้ลและมะนาวเท่ากัน ซึ่งจำนวนที่เป็นไปได้คือ 12 และ 24 แต่พอลได้ซื้อผลไม้แต่ละอย่างมากกว่า 20 แต่น้อยกว่า 30 ผล ดังนั้นจำนวนที่เป็นไปได้มีจำนวนเดียวคือ ซื้ออย่างละ 24 ผล

Heuristic: Guess and check

Word Problem (Grade 5):

Vijay is presented with the equations below. Insert one pair of brackets in each equation to make it true.

วีเจได้เขียนสมการไว้ด้านล่าง ให้ใส่เครื่องหมายวงเล็บ 1 คู่ เพื่อทำให้สมการเป็นจริง


4 × 11 + 18 ÷ 3 + 6 = 46

Solution:

Guess-and-Check.png

The equation is 4 x 11 + 18 ÷ (3 + 6) = 46.

การหาคำตอบใช้วิธีการสุ่มตำแหน่งวงเล็บและตรวจสอบคำตอบที่เป็นจริง

Heuristic: Restate the problem in another way

Word Problem (Grade 2):

There are some identical pens and erasers. 2 pens and 3 erasers are 45 centimetres long altogether. 6 erasers and 2 pens are 60 centimetres long altogether. What is the length of 3 erasers?

มีปากกาแบบเดียวกันและยางลบแบบเดียวกัน หากเรียงปากกา 2 ด้ามและยางลบ 3 ก้อน ต่อกันจะวัดความยาวได้ 45 เซนติเมตร หากเรียงยางลบ 6 ก้อนและปากกา 2 ด้ามต่อกันจะวัดความยาวได้ 60 เซนติเมตร ให้หาความยาวของยางลบ 3 ก้อน

Solution:

If we subtract the total length of 2 pens and 6 erasers from that of 2 pens and 3 erasers, we get the length of 3 erasers.

Restate.png

60 cm – 45 cm = 15 cm
The length of 3 erasers is 15 cm.

หากเราจัดเรียงลำดับใหม่ให้ปากกา 2 ด้ามและยางลบ 6 ก้อน เทียบกับ ปากกา 2 ด้ามและยางลบ 3 ก้อน เราจะเห็นความยาวที่ต่างกันในส่วนของยางลบ 3 ก้อนที่เกินมา ผลต่างจากรูปเท่ากับ 60 - 45 = 15 เซนติเมตร ซึ่งเป็นความยาวของยางลบ 3 ก้อน

Heuristic: Solve part of the problem

Word Problem (Grade 6):

The diagram below shows 4 shaded triangles in Triangle ABC. All the triangles in the diagram are equilateral triangles. If the area of Triangle ABC is 64 cm2, find the total area of the shaded triangles.

จากภาพด้านล่างแสดงรูปสามเหลี่ยมแรเงา 4 รูป อยู่ในรูปสามเหลี่ยน ABC โดยสามเหลี่ยมทุกรูปในภาพเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ถ้าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC เท่ากับ 64 ตร.ซม. ให้หาพื้นที่ทั้งหมดของสามเหลี่ยมที่แรเงา

Solution:

Area-of-shaded-triangles.png
Shaded-Triangles.png

Triangle ABC is made up of 16 small equilateral triangles.
7 out of 16 small equilateral triangles are shaded.
7/16 × 64 = 28

The total area of the shaded triangles is 28 cm^2

สามเหลี่ยม ABC สามารถวาดเส้นเพื่อแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีขนาดเล็ก 16 รูป โดยสามเหลี่ยมที่แรเงาจะมีอยู่ 7 รูปจาก 16 รูป หรือคิดเป็นเศษส่วน 7/16 ของพื้นที่ จากข้อมูลที่ได้นี้ทำให้เราสามารถหาพื้นที่แรเงาได้เท่ากับ 7/16 x 64 = 28 ตร.ซม.

Heuristic: Simplify the problem

Word Problem (Grade 6):

The shaded figure below shows a semicircle and two quarter circles. Find the area of the shaded figure.

 

ภาพแรเงาด้านล่างประกอบด้วยรูปครึ่งวงกลม 1 รูป และ รูป 1/4 วงกลม 2 รูป ให้หาพื้นที่ในส่วนที่แรเงา

(Take pi = 3.14)

Semicircle.png

Solution:

Area-of-shaded-semicircle.png

30 × 15 = 450
The area of the shaded figure is 450 cm2.

จากภาพเราสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ด้วยการลากเส้นแบ่งออกเป็น 4 ส่วน โดยในส่วนที่แรเงาด้านล่างสองส่วนสามารถนำไปประกอบกับพื้นที่ว่างด้านบนของทั้งคู่ ซึ่งจะทำให้พื้นที่แรเงานกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยหาพื้นที่ได้เท่ากับ 30 x 15 = 450 ตร.ซม.

Heuristic: Work backwards

Word Problem (Grade 3):

Darren had some stickers in his collection. He bought 20 more stickers and gave 33 stickers to his sister. He had 46 stickers left. How many stickers did Darren have in his collection at first?

ดาเรนมีสติกเกอร์และสะสมเก็บไว้ เขาได้ซื้อสติกเกอร์มาเพิ่ม 20 ดวงและให้น้องสาวไป 33 ดวง เขาเหลือสติกเกอร์อยู่ 46 ดวง จำนวนสติกเกอร์ที่ดาเรนสะสมอยู่ในตอนแรกมีอยู่เท่าไหร่?

Solution:

Label the changes as C1 and C2.

Work-backwards.png

Before C2: 46 + 33 = 79
At first: 79 – 20 = 59

Darren has 59 stickers in his collection at first.

โจทย์ปัญหารูปแบบนี้เราสามารถเขียนไดอะแกรมเพื่อย้อนกลับไปหาคำตอบในตอนแรกได้ โดยเริ่มจากจำนวนสุดท้ายที่เหลืออยู่ 46 ดวง ซึ่งให้สติกเกอร์น้องสาวไป 33 ดวง แสดงว่าก่อนนี้ดาเรนจะมี 46+33 = 79 ดวง และ ก่อนขั้นตอนนี้ได้ซื้อสติกเกอร์เข้ามาเพิ่ม 20 ดวงจาก แสดงว่าในตอนแรกดาเรนมีสติกเกอร์เท่ากับ 79-20 = 59 ดวง

Heuristic: Draw a table

Word Problem (Grade 4):

Janice wanted to distribute stickers equally among some children. If each child received 8 stickers, she would have 3 stickers left. If each child received 11 stickers, she would need another 9 stickers. How many children were there?

เจนิสต้องการแบ่งสติกเกอร์ให้เด็กเท่าๆ กัน หากแบ่งให้เด็กได้รับสติกเกอร์คนละ 8 ดวง จะมีสติกเกอร์เหลืออยู่ 3 ดวง ถ้าแบ่งให้เด็กได้รับสติกเกอร์คนละ 11 ดวง จำนวนสติกเกอร์จะไม่พอซึ่งจะต้องการเพิ่มอีก 9 ดวง ให้หาว่ามีเด็กกี่คน?

Solution:

Draw-a-Table.png

Janice had 35 stickers. There were 4 children.

วิธีเขียนตารางโดยลิสจำนวนเด็กเรียงลำดับ 1, 2, 3, 4 .... และคำนวนจำนวนสติกเกอร์ตามเงื่อนไขเช่น กรณีแรกหากเด็ก 1 คน ถ้าได้ 8 ดวงและเหลือ 3 ดวง เท่ากับว่ามีอยู่ 11 ดวง กรณีที่สองให้เด็ก 11 ดวงจะต้องการอีก 9 ดวง เท่ากับว่ามีอยู่ 2 ดวง 

หากเด็กมี 2 คน กรณีแรกจะมีสติกเกอร์ 19 ดวง และ กรณีที่สองจะมีสติกเกอร์ 13 ดวง 

หากเด็กมี 3 คน กรณีแรกจะมีสติกเกอร์ 27 ดวง และ กรณีที่สองจะมีสติกเกอร์ 24 ดวง 

หากเด็กมี 4 คน กรณีแรกจะมีสติกเกอร์ 35 ดวง และ กรณีที่สองจะมีสติกเกอร์ 35 ดวง 

 

พบว่ากรณีเด็ก 4 คนจำนวนสติกเกอร์จะเป็น 35 ดวงทั้งสองเงื่อนไข จึงเป็นคำตอบของโจทย์นี้

Heuristic: Make suppositions

Word Problem (Grade 4):

Farmer James has some ducks, horses and cows on his farm. He has 30 ducks and cows altogether. The total number of legs the ducks and cows have is 82. The total number of legs the horses have is 28. How many ducks and how many cows are there on the farm?

เจมส์เป็นเจ้าของฟาร์มซึ่งมี เป็ด, ม้า และวัว เขามีเป็ดและวัวรวมกัน 30 ตัว และจำนวนนับของขาเป็ดและขาวัวรวมกันมี 82 ขา จำนวนนับของขาของม้าทั้งหมดมี 28 ขา ให้หาจำนวนเป็ดและจำนวนวัวที่มีอยู่ในฟาร์มว่ามีอย่างละเท่าไหร่?

Solution:

Suppose that James has 30 ducks.
30 × 2 = 60
30 ducks have 60 legs altogether.
82 – 60 = 22
The total number of legs is 22 less than the actual total number.
A cow has 2 more legs than a duck.
22 ÷ 2 = 11
James has 11 cows.
30 – 11 = 19

There are 19 ducks and 11 cows on the farm.

จากจำนวนเป็ดและวัวรวมกันมี 30 ตัว ซึ่งเรายังไม่ทราบว่ามีเป็ดและวัวอย่างละเท่าไหร่

 

สมมุติให้ 30 ตัวเป็นเป็ดทั้งหมด  จะได้จำนวนขาทั้งหมด 30x2 = 60 ขา

ซึ่งจากโจทย์แจ้งว่าและจำนวนนับของขาเป็ดและขาวัวรวมกัน 82 ขา

เท่ากับว่าจำนวนขาที่สมมุติขึ้นมามีน้อยกว่าจำนวนนับของขาจริงอยู่ 82-60 = 22 ขา 

หากมีวัวเพิ่มขึ้น 1 ตัว และเป็ดลดลง 1 ตัว จะมีจำนวนขาเพิ่มขึ้น 2 ขา

ดังนั้นหากต้องการขาเพิ่ม 20 ขา จะต้องมีวัวเพิ่มขึ้น = 22/2 = 11 ตัว

และมีจำนวนเป็ดเท่ากับ 30 -11 = 19 ตัว

Heuristic: Use before-after concept

Word Problem (Grade 5):

Ray and Sam each brought some money for shopping. The ratio of the amount of Ray’s money to the amount of Sam’s money was 3 : 4. After each of them bought a laptop for $1250, the ratio of the amount of Ray’s money to the amount of Sam’s money became 1 : 3. How much money did Sam bring for shopping?

เรย์และแซมนำเงินไปใช้จ่ายโดยจำนวนเงินของเรย์กับแซมมีอัตราส่วนเท่ากับ 3:4 จากนั้นแต่ละคนได้ซื้อคอมพิวเตอร์ราคา $1250, จำนวนเงินของเรย์กับแซมมีอัตราส่วนที่เปลี่ยนไปเป็น 1:3 ให้หาจำนวนเงินที่แซมนำไปใช้จ่ายจำนวนเท่าไหร?

Solution:

Before-After-Concept.png

(8 – 3) = 5 units = $1250
8 units = $1250 ÷ 5 × 8 = $250 × 8 = $2000

Sam brought $2000 for shopping.

อัตราส่วนจำนวนเงินของเรย์และแซมจากเดิม 3:4 ได้เปลี่ยนไป 1:3 หลังจากที่ทั้งคู่จ่ายเงินซื้อคอมพิวเตอร์ในราคาเดียวกัน ซึ่งวิธีการที่เหมาะสมคือวิธี Before-After concept โดยทั้งสองช่วงเวลา ก่อนและหลัง มีสิ่งที่ไม่ต่างกันคือส่วนต่างของจำนวนเงินทั้งสองคน

 

สำหรับโมเดล Before อัตราส่วนของเรย์และแซมเป็น 3:4 ซึ่งมีส่วนต่าง (Difference) คือ 1 unit

ส่วนโมเดล After อัตราส่วนของเรย์และแซมเป็น 1:3 ซึ่งมีส่วนต่าง (Difference) คือ 2 unit

เพื่อให้ Unit ส่วนต่าง (Difference) ทั้ง Before-After เท่ากัน โมเดล Before อัตราส่วนของเรย์และแซมจึงเปลี่ยนเป็น 6:8  ซึ่งจะได้ว่าจำนวน unit ที่เปลี่ยนไปจาก Before-After ของเรย์คือ 6-1 = 5 units และของแซม คือ 8-3 = 5 units เท่ากันทั้งสองคน

 

ส่วนต่าง 5 units คือจำนวนที่ทั้งคู่นำไปซื้อคอมพิวเตอร์ราคา $1250 

ดังนั้น 1 unit จะเท่ากับ $1250 / 5 units = $250

แซมนำเงินไปใช้จ่าย 8 units เท่ากับเป็นจำนวนเงิน $250 x 8 = $2000

S.A.M Heuristics หน้านี้เป็นเนื้อเบื้องต้น โปรดติดตามเนื้อหาในลำดับถัดไปสำหรับเนื้อเชิงลึก ในแต่ละหัวข้อ math heuristics.

 

Seriously Addictive Mathematics (S.A.M) ได้เริ่มต้นตั้งแต่ปี 2010 และปัจจุบันเป็นหลักสูตรคณิตศาสตร์สิงคโปร์ที่ใหญ่ที่สุดในโลก สำหรับระดับชั้นอนุบาล - ประถม ( 4 - 12 ปี ) หลักสูตรที่ได้รับรางวัลโดยพัฒนาจากหลักสูตรคณิตศาสตร์สิงคโปร์มุ่งเน้นการพัฒนาทักษะแก้ปัญหาและทักษะการคิด

 

การวางหลักสูตรประกอบสองเสาหลักคือ กระบวนการสอนในห้องเรียนและแบบฝึกหัดอย่างมืออาชีพ เรารู้ดีว่าเด็กทุกคนมีความต่าง และความสามารถในการเรียนรู้ที่ต่างกัน หลักสูตรจึงออกแบบมาเพื่อให้มีหลายระดับเพื่อปรับใช้ได้เหมาะกับเด็กทุกคน